1.向量的内积 即 向量的的数量积 定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉；若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。 2.向量的外积 即 向量的向量积 定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。

 

如果两向量内积为零，说明两向量垂直；

外积为0，说明两向量平行

 

 

向量内积a.b代表两个向量对应坐标值相乘后相加，得到的是一个数，标量。

数值上等于两向量长度积乘以夹角的余弦几何上的应用：可以求两向量夹角；

一个向量a和一个单位向量e的内积的几何意义是a在e方向的投影向量。

一个向量对自己内积开方后是该向量长度

向量外积a×b得到的是一个向量，一个行列式，以三维向量为例，等于|i   j   k ||a1  a2  a3||b1  b2  b3|长度数值上等于两向量长度积乘以夹角的正弦，方向用右手螺旋定则确定，物理上经常应用于求电磁力几何上的应用：两向量外积等于以两向量为邻边的平行四边形面积，方向为两向量所在平面的法线方向；

点乘和叉乘  

2009-12-25 15:07:15|  分类： |字号 

 

 

点乘和叉乘的数学公式                                     

 

我们来看看点乘和叉乘的数学定义：

点乘，也叫向量的内积、数量积。顾名思义，求下来的结果是一个数。

点积： (x1 , y1 , z1 ) .( x2 , y2 , z2 ) = x1x2 + y1y2 + z1z2

点积可以来计算两矢量的夹角,公式如下:

cos (V ^ W) =V.W / | V | | W |

叉乘，也叫向量的外积、向量积。顾名思义，求下来的结果是一个向量，记这个向量为c。

|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin<a,b>

叉乘： ( x1 , y1 , z1 ) X ( x2 , y2 , z2 ) =( y1z2 - z1y2 , z1x2 - x1z2 , x1y2 - y1x2 )

叉乘可以计算两矢量的垂直矢量,叉乘后的新矢量就是垂直于前两矢量的矢量.

向量c的方向与a,b所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向）。

因此

向量的外积不遵守乘法交换率，因为

向量a×向量b=-向量b×向量a

在物理学中，已知力与力臂求力矩，就是向量的外积，即叉乘。

将向量用坐标表示（三维向量），

若向量a=(a1,b1,c1)，向量b=(a2,b2,c2)，

则

向量a·向量b=a1a2+b1b2+c1c2

向量a×向量b=

| i j k|

|a1 b1 c1|

|a2 b2 c2|

=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)

（i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量）。

叉乘的几何意义是：如矢量x叉乘矢量y就是右手四指与x方向相同向y方向弯曲，大拇指的方向就是叉乘结果的方向，大小为以向量x和y为相邻两边的平行四边形所围的面积。

点乘的几何意义是：是一条边向另一条边的投影乘以另一条边的长度。

 

叉乘的应用：

已知三角形abc的三个顶点坐标分别为a（－２,０） ｂ(６,－２) ｃ(１,６）求三角形面积.

向量AB =8i-2j，向量AC =3i+6j

三角形ABC面积 =|向量AB 叉乘 向量AC|/2

= |(8i-2j)叉乘(3i+6j)|/2

= |48k+6k|/2

= |54k|/2

= 27，（i、j、k为空间直角坐标系的三个单位向量）